Palitra21.ru

Домашний уют — журнал
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Свежие объявления Станки на БУ БАРАХОЛКА РУ

Свежие объявления Станки на БУ БАРАХОЛКА РУ

Состояние на фото, видимых неисправностей нет. Монеты крутит, но не выбрасывает, возможно требует ремонта или како.

Настоящий советский брезентовый вещмешок, точно такой, как «в фильмах про войну». Со складов длительного .

По типу

Компания «МОССклад» поставляет Шлифовальные станки по дереву во все города России, в том числе в г. Москва, Санкт-Петербург, Челябинск, Пермь, Симферополь, Ульяновск, Казань, Калуга, Новосибирск, Екатеринбург, Нижний Новгород, Калининград, Самара, Омск, Уфа, Саратов, Красноярск, Владивосток, Ростов-на-Дону, Воронеж, Волгоград, Махачкала, Грозный и другие, а также в Белоруссию, Казахстан, Армению и Киргизию.

У нас вы можете купить Шлифовальные станки для деревообработки следующих производителей: GSC , Holzmann-maschinen, HOLZSTAR, RECORD POWER, и другие.

Приобрести Шлифовальные станки у нас очень легко:

  • Выберите интересующее оборудование в подразделе выше
  • Узнайте характеристики, посмотрите фото и видео, нажав на название модели
  • Узнайте способы оплаты, доставки и запуска оборудования в разделе «Как купить»
  • Позвоните бесплатно из любого города РФ 8-800-333-51-02 или отправьте запрос на meh@mossklad.ru

Что-то заинтересовало? Отправьте нам запрос

Мы обработаем запрос и направим Вам ответ.

Технические характеристики оборудования могут быть изменены производителем без предварительного уведомления. Информация на сайте носит справочный характер и не является публичной офертой в соответствии с п.2 ст.437 ГК РФ.

Запрещено копирование любых материалов сайта в коммерческих целях без письменного разрешения ООО «МОССклад» (ст.1259 и ст.1260 гл.70 «Авторское право» ГК РФ).

© 2006-2020 ООО «МОССклад».

Режим работы ООО «МОССклад»:
ПН — ПТ 9:00 — 18:00 (Мск)

Станки Б/У

Раскройные лазерные комплексы «Unimach» обладают большим ресурсом службы, благодаря чему бывшие в употреблении станки продолжают работать надежно и качественно. По каждому представленному в данном разделе станку имеется вся история эксплуатации; оборудование проверено и полностью работоспособно.

LaserCut FO3015 1.0PRF-M

LaserCut FO3015 1.0PRF

LaserCut FO2512C 700

Согласие на обработку персональных данных

Пользователь, посещающий Сайт unimach.ru (далее – «Сайт»), вправе принять настоящее Согласие на обработку персональных данных (далее — Согласие). А акцептом оферты является проставление Пользователем «галочки» и нажатие кнопки «Дать согласие на обработку персональных данных» в размещенной для этой цели веб-форме раздела Сайта, касающегося предоставления персональных данных в формах обратной связи. Пользователь дает свое согласие ООО «НПК Морсвязьавтоматика» (далее – ООО «НПК МСА», «Оператор»), которому принадлежит Сайт, расположенное по адресу: 192174, г. Санкт-Петербург, ул. Кибальчича, д.26, лит. Е, на обработку своих персональных данных со следующими условиями:

Данное Согласие дается на обработку персональных данных как без, так и с использованием средств автоматизации.

Согласие на обработку персональных данных Пользователя дается с целью использования ООО «НПК МСА» данных для осуществления обработки запросов, коммуникаций и аналитики действий Пользователей на Сайте. Согласие предоставлено для использования следующих персональных данных: фамилия, имя, отчество; номера контактных телефонов; адреса электронной почты; место работы и занимаемая должность; адрес; сведения о местоположении; тип, версия, язык операционной системы, браузера; тип устройства и разрешение его экрана; страницы, открываемые пользователем; ip-адрес и др.

С персональными данными могут быть совершены следующие действия: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (распространение, предоставление, доступ), обезличивание, блокирование, удаление, уничтожение.

Сбор персональных данных Пользователей Сайта производится через формы обратной связи, которые Пользователь заполняет собственноручно. Также персональные данные могут быть получены Компанией, если их владелец указывает их в электронном письме, отправляемом в Компанию на адреса, указанные на Сайте. Оператор обеспечивает сохранность персональных данных и принимает все возможные меры, исключающие доступ к персональным данным неуполномоченных лиц.

Также на Сайте происходит сбор и обработка обезличенных данных о Пользователях (в т.ч. файлов «cookie») с помощью сервисов интернет-статистики (Яндекс Метрика и Гугл Аналитика и других). Обезличенные данные Пользователей, собираемые с помощью сервисов интернет-статистики, служат для сбора информации о действиях Пользователей на Сайте, улучшения качества сайта и его содержания. Оператор обрабатывает обезличенные данные о Пользователе в случае, если это разрешено в настройках браузера Пользователя (включено сохранение файлов «cookie» и использование технологии JavaScript).

Передача персональных данных третьим лицам осуществляется на основании законодательства Российской Федерации, договора с участием субъекта персональных данных или с его согласия.

Обработка может быть прекращена по запросу субъекта персональных данных.

Преимущества сотрудничества с нами

У нас вы можете купить станки ЛТТ для обработки металла и дерева в Москве по выгодной цене от производителя. Мы предлагаем разный инструмент, благодаря которому вы сможете выполнять все действия по обработке метала и дерева. Покупая станки у нас, вы получите такие возможности:

1. Доставка вашей покупки сразу же после оформления. Мы беспокоимся о том, чтобы наши клиенты могли как можно скорее пользоваться купленными материалами, поэтому организовываем доставку по территории всей России.

2. Оплата может происходить как безналичными средствами, так и наличными. При оплате по безналу вы получите документы, подтверждающие факт проведения операции. Это особенно удобно для юридических лиц.

3. Высокое качество поставляемых инструментов. Мы сотрудничаем только с теми производителями, которые хорошо себя зарекомендовали.

Делая заказ у нас, вы сможете подобрать необходимую продукцию и получить консультацию по её выбору.

Виды и характеристики шлифовальных станков

Основным предназначением шлифовального оборудования, представленного в нашем каталоге, является окончательная обработка крупных изделий. Благодаря шлифовальным станкам, предлагаемым нашей компанией, удается получить идеально гладкую поверхность. Такая техника незаменима в производстве деревянных и металлических изделий. Посредством шлифовальных станков вы сможете придать изделиям товарный вид, что поспособствует увеличению продаж.

Следует отметить тот факт, что практически все станки, используемые для обработки кромок и шлифования погонажных поверхностей, основываются на применении барабанных и узколенточных суппортов. Ленточные и цепные конвейеры используются для подачи обрабатываемых заготовок.

В настоящее время приобрести шлифовальный станок – не проблема. Самое главное – правильно выбрать оборудование. Современные шлифовальные станки, представленные на нашем сайте, подразделяются на несколько видов:

Круглошлифовальные станки

Такой шлифовальный станок предназначен для обработки наружных конических и цилиндрических поверхностей. Также посредством данного вида оборудования можно обрабатывать торцевые поверхности заготовок. Круглошлифовальные станки бывают простыми и универсальными.

Плоскошлифовальные станки

С помощью станков данного типа можно осуществлять обработку прямых и сопряженных плоских поверхностей.

Бесцентровые шлифовальные станки

Как правило, применяются в крупносерийном производстве. Заготовки в таких станках фиксируются за счет силы вращения между роликом и шлифовальным кругом.

Внутришлифовальные станки

Предназначены для обработки внутренних поверхностей.

Для того чтобы правильно выбрать оборудование, необходимо определить, в какой обработке нуждаются изделия. Цена шлифовального станка определяется в зависимости от модели и производителя. Высоким спросом на сегодняшний день пользуются станки для шлифовки гнутых и прямых труб, нержавеющего листа, плоского профиля и т.д. В том случае, если вы решили купить шлифовальный станок, следует ответственно подойти к выбору производителя, почитать отзывы об интересующей модели, а также узнать мнение людей, которые уже успели воспользоваться тем или иным шлифовальным оборудованием.

Шлифовальные станки

Отображение 1–16 из 18

Калибровально-шлифовальный станок c выравнивающим валом R-RP1100А

Калибровально-шлифовальный трёхузловой станок c выравнивающим валом мод. R-RP1100А — предназначен для калибрования и шлифования поверхности различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, а также окон и дверных полотен для устранения дефектов сборки.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству столярно-строительных изделий, оконных блоков, дверей из массива древесины, погонажных изделий и клееных мебельных щитов, на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета и других деревообрабатывающих производствах.

Кромкошлифовальный станок проходного типа RK-MBJ-2S

Кромкошлифовальный станок проходного типа RK-MBJ-2S

Станок предназначен для шлифовки в автоматическом режиме кромок фасадных профилей, мебельных деталей, элементов дверных коробок, наличников, и других элементов. Шлифование производится на массивных заготовках, на изделиях из МДФ, шпонированных деталях, по грунту и по нанесенному ЛКМ (промежуточное шлифование).

Полировальный станок PR1300-6R

Полировальный станок PR1300-6R

Шлифовально-полировальныйе станки с 3-мя группами шлифовальных узлов, с возможностью запуска каждого узла по отдельности, применяются для качественной шлифовки и полировки мебельных фасадов из массива древесины, погонажных изделий и других изделий из древесины.

Станок оснащен 6 моторами по 2,2 кВт управляемыми 3 инверторами с возможностью регулировки скорости вращения шлифовальных барабанов и тарелок, двигателем подъема стола, двигателем с редуктором подачи транспортерной ленты

Калибровально-шлифовальный станок R-RP 1000

Калибровально-шлифовальный станок мод. R-RP 1000 — предназначен для калибрования и шлифования поверхности различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, а также окон и дверных полотен для устранения дефектов сборки.

Читать еще:  Как работают насосы для воды основные принципы

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству столярно-строительных изделий, оконных блоков, дверей из массива древесины, погонажных изделий и клееных мебельных щитов, на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета и других деревообрабатывающих производствах.

Калибровально-шлифовальный станок R-RP 1300

Калибровально-шлифовальный станок мод. R-RP 1300 — предназначен для калибрования и шлифования поверхности различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, а также окон и дверных полотен для устранения дефектов сборки.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству столярно-строительных изделий, оконных блоков, дверей из массива древесины, погонажных изделий и клееных мебельных щитов, на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета и других деревообрабатывающих производствах.

Калибровально-шлифовальный станок R-RP 400

Калибровально-шлифовальный станок R-RP 400 — предназначен для калибрования и шлифования поверхности различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, а также окон и дверных полотен для устранения дефектов сборки.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству столярно-строительных изделий, оконных блоков, дверей из массива древесины, погонажных изделий и клееных мебельных щитов, на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета и других деревообрабатывающих производствах.

Калибровально-шлифовальный станок R-RP 630

Калибровально-шлифовальный станок мод. R-RP 630. Предназначен для калибрования и шлифования поверхности различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, а также окон и дверных полотен для устранения дефектов сборки.

Круглошлифовальный станок MM2012

Круглошлифовальный станок мод. MM2012 — предназначен для качественной шлифовки изделий круглого сечения. Применяется для производства изделий хозяйственно-бытового назначения, спортинвентаря, мебели и пр., в которых используются цилиндрические деревянные детали диаметром от 10 до 60 мм.

Щеточный рельефно-шлифовальный станок PR1000-6

Щеточный рельефно-шлифовальный станок PR1000-6 — Шлифовально-полировальный станок с 3-мя группами шлифовальных узлов, с возможностью запуска каждого узла по отдельности, применяются для качественной шлифовки и полировки мебельных фасадов из массива древесины, погонажных изделий и других изделий из древесины.

Станок оснащен 6 моторами по 2,2 кВт управляемыми 3 инверторами с возможностью регулировки скорости вращения шлифовальных барабанов и тарелок, двигателем подъема стола, двигателем с редуктором подачи транспортерной ленты.

Шлифовально-аспирационный стол DT-1000

Шлифовально-аспирационный стол мод. DT-1000 — предназначен для выполнения пошкурочно-шлифовальных работ в мебельном, деревообрабатывающем и других видах производства, связанных с чистовой обработкой изделий из дерева, МДФ, ДСП, ДВП и пр.

  • Простая конструкция
  • Удобное обслуживание
  • Съёмные панели
  • Задняя стенка с отводом
  • Отбрасываемые боковые стенки

Шлифовально-аспирационный стол DT-1580

Шлифовально-аспирационный стол мод. DT-1580 — предназначен для выполнения пошкурочно-шлифовальных работ в мебельном, деревообрабатывающем и других видах производства, связанных с чистовой обработкой изделий из дерева, МДФ, ДСП, ДВП и пр.

  • Простая конструкция
  • Удобное обслуживание
  • Съёмные панели
  • Задняя стенка с отводом
  • Отбрасываемые боковые стенки

Шлифовальный станок DT 1000-2 (2 лепестковых барабана)

Шлифовальный станок с 2-мя лепестковыми барабанами для рельефного шлифования мод. DT 1000-2 — предназначен для рельефного шлифования поверхностей различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, филёнок, профильных заготовок, погонажа и пр.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству:

  • столярно-строительных изделий,
  • дверей из массива древесины,
  • погонажных изделий и клееных мебельных щитов,
  • на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета
  • других деревообрабатывающих производствах.

Шлифовальный станок DT 1000-4 (4 лепестковых барабана)

Шлифовальный станок с 4-мя лепестковыми барабанами для рельефного шлифования мод. DT 1000-4 — предназначен для рельефного шлифования поверхностей различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, филёнок, профильных заготовок, погонажа и пр.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству:

  • столярно-строительных изделий,
  • дверей из массива древесины,
  • погонажных изделий и клееных мебельных щитов,
  • на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета
  • других деревообрабатывающих производствах.

Шлифовальный станок DT 1300-4 (4 лепестковых барабана)

Шлифовальный станок с 4-мя лепестковыми барабанами для рельефного шлифования мод. DT 1300-4 — предназначен для рельефного шлифования поверхностей различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, филёнок, профильных заготовок, погонажа и пр.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству:

  • столярно-строительных изделий,
  • дверей из массива древесины,
  • погонажных изделий и клееных мебельных щитов,
  • на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета
  • других деревообрабатывающих производствах.

Шлифовальный станок DT 630-2 (2 лепестковых барабана)

Шлифовальный станок с 2-мя лепестковыми барабанами для рельефного шлифования мод DT 630-2 — предназначен для рельефного шлифования поверхностей различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, филёнок, профильных заготовок, погонажа и пр.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству:

  • столярно-строительных изделий,
  • дверей из массива древесины,
  • погонажных изделий и клееных мебельных щитов,
  • на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета
  • других деревообрабатывающих производствах.

Шлифовальный станок DT 630-4 (4 лепестковых барабана)

Шлифовальный станок с 4-мя лепестковыми барабанами для рельефного шлифования мод. DT 630-4 — предназначен для рельефного шлифования поверхностей различных плитных материалов (ДСП, МДФ), мебельного щита, филёнок, профильных заготовок, погонажа и пр.

Технологические возможности станка позволяют использовать его на крупных и средних предприятиях, а также в цехах по производству:

  • столярно-строительных изделий,
  • дверей из массива древесины,
  • погонажных изделий и клееных мебельных щитов,
  • на предприятиях по выпуску элементов мебели, паркета
  • других деревообрабатывающих производствах.

Калибровально – шлифовальные станки

Используются при финишной обработке изделий в деревообрабатывающих и мебельных производствах.

Оборудование позволяет выполнять калибрование и шлифование грунтованных и шпонированных заготовок, мебельного щита и популярных древесных плитных материалов.

Преимущества применения калибровально-шлифовальных станков – качество обработки поверхности и высокая точность, что имеет особое значение в мебельном производстве. Наличие одного или нескольких рабочих узлов позволяет подбирать оборудование по уровню мощности и производительности с учетом реальных возможностей цеха и поставленных задач.

При выборе и покупке калибровально-шлифовального станка необходимо учитывать рабочую ширину конкретного станка. Данный показатель определяет возможность использования станка для изготовления и обработки широкого ассортимента готовых изделий:

  • Модели шириной 630-700 мм – для подоконников, ступеней, плоского погонажа и фасадов;
  • Станки шириной 1000 мм – производство дверей;
  • Оборудование с рабочей шириной 1300 мм – производство клееного щита;
  • Станки на 1700 мм – производство фанеры.

Если шлифовально-калибровальный станок по дереву используется для обработки изделия, поверхность которого покрыта шпоном, стальной вал не используется. Вместо этого пристальное внимание следует уделить подбору и настройке утюжков. Важно, чтобы они были оснащены цифровым либо пневматическим слежением – только так можно будет избежать порчи тонкого декоративного покрытия изделия.

Применяются такие станки во многих отраслях производства, (для изготовления бытовой, офисной, коммерческой мебели, различных изделий из дерева и производных материалов).

Кроме того, подобное оборудование эффективно справляется с обработкой органического стекла, пластмасс и других синтетических соединений. Это является неоспоримым свидетельством универсальности данного оборудования, которым могут быть укомплектованы мастерские самой разной специализации.

Станки Б/У

Раскройные лазерные комплексы «Unimach» обладают большим ресурсом службы, благодаря чему бывшие в употреблении станки продолжают работать надежно и качественно. По каждому представленному в данном разделе станку имеется вся история эксплуатации; оборудование проверено и полностью работоспособно.

LaserCut FO3015 1.0PRF-M

LaserCut FO3015 1.0PRF

LaserCut FO2512C 700

Согласие на обработку персональных данных

Пользователь, посещающий Сайт unimach.ru (далее – «Сайт»), вправе принять настоящее Согласие на обработку персональных данных (далее — Согласие). А акцептом оферты является проставление Пользователем «галочки» и нажатие кнопки «Дать согласие на обработку персональных данных» в размещенной для этой цели веб-форме раздела Сайта, касающегося предоставления персональных данных в формах обратной связи. Пользователь дает свое согласие ООО «НПК Морсвязьавтоматика» (далее – ООО «НПК МСА», «Оператор»), которому принадлежит Сайт, расположенное по адресу: 192174, г. Санкт-Петербург, ул. Кибальчича, д.26, лит. Е, на обработку своих персональных данных со следующими условиями:

Данное Согласие дается на обработку персональных данных как без, так и с использованием средств автоматизации.

Согласие на обработку персональных данных Пользователя дается с целью использования ООО «НПК МСА» данных для осуществления обработки запросов, коммуникаций и аналитики действий Пользователей на Сайте. Согласие предоставлено для использования следующих персональных данных: фамилия, имя, отчество; номера контактных телефонов; адреса электронной почты; место работы и занимаемая должность; адрес; сведения о местоположении; тип, версия, язык операционной системы, браузера; тип устройства и разрешение его экрана; страницы, открываемые пользователем; ip-адрес и др.

Читать еще:  Технические преимущества токарного станка 1К62

С персональными данными могут быть совершены следующие действия: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (распространение, предоставление, доступ), обезличивание, блокирование, удаление, уничтожение.

Сбор персональных данных Пользователей Сайта производится через формы обратной связи, которые Пользователь заполняет собственноручно. Также персональные данные могут быть получены Компанией, если их владелец указывает их в электронном письме, отправляемом в Компанию на адреса, указанные на Сайте. Оператор обеспечивает сохранность персональных данных и принимает все возможные меры, исключающие доступ к персональным данным неуполномоченных лиц.

Также на Сайте происходит сбор и обработка обезличенных данных о Пользователях (в т.ч. файлов «cookie») с помощью сервисов интернет-статистики (Яндекс Метрика и Гугл Аналитика и других). Обезличенные данные Пользователей, собираемые с помощью сервисов интернет-статистики, служат для сбора информации о действиях Пользователей на Сайте, улучшения качества сайта и его содержания. Оператор обрабатывает обезличенные данные о Пользователе в случае, если это разрешено в настройках браузера Пользователя (включено сохранение файлов «cookie» и использование технологии JavaScript).

Передача персональных данных третьим лицам осуществляется на основании законодательства Российской Федерации, договора с участием субъекта персональных данных или с его согласия.

Обработка может быть прекращена по запросу субъекта персональных данных.

Сегодня мы с вами выясним, отчего при рейсмусовании на концах заготовки появляются ступеньки, и попробуем их победить!

Ступеньки на материале оставляют в основном станки бюджетного ценового сегмента, за счет более дешевых материалов и хлипкой конструкции. Давайте посмотрим, как это происходит.

Возьмем дубовый брусок с одной уже отфугованной ровной поверхностью.

Итак, просто пропустим его через рейсмус.

Посмотрим, что же вышло

Мда, результат, мягко говоря, не очень. Такую деталь уже не пустишь в склейку, так как получатся большие щели, да и вообще выглядит это некрасиво. Как же быть тем мастерам, которые не могут обзавестись профессиональным станочным парком? Можно брать заготовку длиннее, и затем обрезать 10-15 см драгоценного материала. Или… Давайте посмотрим, почему так получается, на примере замечательного рейсмуса Jet JPT-12.

Конструктивно аппарат состоит из двух частей — утяжеленного основания, и двигательного блока, перемещающегося вверх-вниз относительно основания по четырем стальным пилонам при помощи винтовой тяги.

Упрощенно его можно изобразить следующим образом:

Подающий и принимающий ролики подпружинены мощными пружинами и имеют некоторый вертикальный ход. Когда мы заводим заготовку, подающий ролик с большой силой прижимает ее к столу. В этот момент происходит перекос всего двигательного блока.

Слабое место кроется в узлах скольжения двигательного блока по четырем пилонам — там имеется небольшой люфт, благодаря которому и происходит скольжение. Он небольшой, но достаточный для появления перекоса. Далее заготовка добирается до ножей и начинается съем материала.

А вот когда заготовка подходит к принимающему ролику, по тому же принципу происходит обратная ситуация — двигательный блок выравнивается, и вал с ножами немного приподнимается над поверхностью, глубина съема материала уменьшается.

В этот момент мы и наблюдаем появление ступеньки.

Далее все происходит в обратном порядке — подающий ролик соскакивает с заготовки, двигатель проседает и ножи глубже вгрызаются в материал, обеспечивая нам появление второй ступеньки.

Так как же бороться с этим? Способ очень простой — нам понадобятся. лишь два ненужных бруска одинаковой с заготовкой толщины.

Суть метода такова — запускаем один брусок вперед, ждем пока он окажется под двумя роликами сразу, выровняв тем самым двигательный блок, и пускаем нашу заготовку.

Следом с небольшим интервалом запускаем второй брусок. Он примет на себя проседающий двигатель.

Это все. Никаких ступенек

Метод предельно простой, но он позволит вам, не имея доступа к тяжелому профессиональному оборудованию, сделать несколько ровных прямых заготовок. Иногда этого бывает достаточно.

Сегодня мы с вами в который раз убедились, что светлая голова и прямые руки помогут выйти победителем в большинстве задач.

Графы. Применение графов к решению задач

1. Методические рекомендации к теме “Графы”.

Понятие графа целесообразно вводить после того, как разобрано несколько задач, подобных задаче 1, решающее соображение в которых – графическое представление. Важно, чтобы ученики сразу осознали, что один и тот же граф может быть нарисован разными способами. Строгое определение графа, на мой взгляд, давать не нужно, т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит обсуждение. На первых порах хватит и интуитивного понятия. При обсуждении понятия изоморфизма можно решить несколько упражнений на определение изоморфных и неизоморфных графов. Одно из центральных мест темы – теорема о четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы ученики до конца разобрались в ее доказательстве и научились применять к решению задач. При разборе нескольких задач рекомендую не ссылаться на теорему, а фактически повторять ее доказательство. Чрезвычайно важно также понятие связности графа. Содержательным соображением здесь является рассмотрение компоненты связности, на это необходимо обратить особое внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.

Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, –научить школьников видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов. Не стоят рассказывать обе всем на нескольких занятиях подряд. Лучше разнести занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается разработка занятия “Понятие графа. Применение графов к решению задач” в 6 классе).

2. Теоретический материал к теме “Графы”.

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4×4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами. Точки при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:

Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными.

Степени вершин и подсчет числа ребер графа

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов –теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу.

Задача 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими ?

Читать еще:  Многошпиндельный сверлильно-пазовальный станок PRAGMA45

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным . Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

Теорема: Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.

Связность графа

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности.

Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа.

Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой.

Доказательство: Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами (в противном случае существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:

Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного.

Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: “Доказать, что граф дорог страны Семерка связен.”

Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”, каждый из которых – либо отдельная вершина без ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:

Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:

Задача 5. В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний.

Доказательство: Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности – связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать.

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 6. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз ?

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема: Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

И в заключение – задача о Кенигсбергских мостах.

Задача 7. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.

Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

3. Задачи к теме “Графы”

Понятие графа.

1. На квадратной доске 3×3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Решение. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:

Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:

При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Решение. Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

3. В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 . 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей ?

Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).

5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей ?

Ответ. Нет, не может.

6. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение. Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

7. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы о четности числа нечетных вершин графа.

Связность.

8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Доказательство. Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой.

Графы Эйлера.

9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

10. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector